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limx趋于0,1/xArCsinx%1/x^2

x->0 arcsinx = x +(1/6)x^3+o(x^3) x-arcsinx = -(1/6)x^3+o(x^3) lim(x->0) [ 1/(xarcsinx) -1/x^2 ] =lim(x->0) (x-arcsinx)/(x^2.arcsinx) =lim(x->0) (x-arcsinx)/x^3 =lim(x->0) -(1/6)x^3/x^3 =-1/6

2xsinx/√1+x^2*arctan1/x=2x/√1+x^2*arctan1/x*sinx因为lim(x->+∞)2x/√1+x^2*arctan1/x=lim(x->+∞)2/√(1+1/x^2)*arctan1/x=2/1*0=0而sinx是有界函数,所以由无穷小和有界函数的积是无穷小,得原式的极限=0

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当x→0时,arcsin2x等价于2x,arcsinx等价于x ∴arcsin2x–arcsinx等价于x ,趋于→0。 有不懂的,还可以问我。

arctanx替换成x的前提是x趋于0,但是这里sinx/x趋于1,所以lim=arctan1=π/4

由等价无穷小的性质可知:当x→0时,ex-sinx-1~x-sinx,arcsinx3~x3故有:limx→0ex?sinx?1arcsinx3=limx→0x?sinxx3=limx→01?cosx3x2=limx→012x23x2=16

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