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limx趋于0,1/xArCsinx%1/x^2

x->0 arcsinx = x +(1/6)x^3+o(x^3) x-arcsinx = -(1/6)x^3+o(x^3) lim(x->0) [ 1/(xarcsinx) -1/x^2 ] =lim(x->0) (x-arcsinx)/(x^2.arcsinx) =lim(x->0) (x-arcsinx)/x^3 =lim(x->0) -(1/6)x^3/x^3 =-1/6

原式=lim(arcsinx/x)*lim(arctanx/x)*(1/2) =1*1*(1/2) =1/2.

题干不完整,无法正常作答。

2xsinx/√1+x^2*arctan1/x=2x/√1+x^2*arctan1/x*sinx因为lim(x->+∞)2x/√1+x^2*arctan1/x=lim(x->+∞)2/√(1+1/x^2)*arctan1/x=2/1*0=0而sinx是有界函数,所以由无穷小和有界函数的积是无穷小,得原式的极限=0

x趋于0时 arcsinx和x是等价无穷小 直接替换

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arctanx替换成x的前提是x趋于0,但是这里sinx/x趋于1,所以lim=arctan1=π/4

由等价无穷小的性质可知:当x→0时,ex-sinx-1~x-sinx,arcsinx3~x3故有:limx→0ex?sinx?1arcsinx3=limx→0x?sinxx3=limx→01?cosx3x2=limx→012x23x2=16

分子=pi/2 分母=1 极限值=pi/2

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